Calotta

In geometria, si dice calotta sferica ciascuna delle parti in cui la superficie di una sfera è suddivisa da un piano secante. Se il piano secante passa per un diametro della sfera le due parti si dicono emisferi. Il volume compreso tra la calotta e il piano secante è detto segmento sferico.

Il cerchio delimitato dalla sfera e dal piano secante è detto base della calotta. Il raggio passante per il centro della base è un asse di simmetria per la calotta, e incontra la calotta stessa in un punto detto vertice; la parte di raggio compresa tra la base e il vertice è detta altezza della calotta.

Formule

L'area della superficie della calotta sferica si ottiene dal prodotto della lunghezza della circonferenza massima della sfera a cui appartiene per la sua altezza:

${\displaystyle S=2\pi rh,}$

dove ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle h}$ sono il raggio della sfera e l'altezza della calotta sferica. Se ${\displaystyle \Omega }$ è l'angolo solido sotteso dalla calotta, la superficie si può esprimere anche come:

${\displaystyle S=\Omega r^{2}.}$

Se si introduce l'apertura ${\displaystyle \alpha }$ del cono sotteso dalla calotta sferica (confrontare angolo solido) si ottengono le notevoli relazioni:

${\displaystyle h=r\left(1-\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right),}$

${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right).}$

Il volume della calotta sferica è dato da:

${\displaystyle V=\pi h^{2}\left(r-{\frac {h}{3}}\right).}$

oppure da:

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2} h^{2}),}$

La relazione tra l'altezza ${\displaystyle h}$, il raggio di base della calotta ${\displaystyle a}$ e il raggio della sfera ${\displaystyle r}$ è data da:

${\displaystyle h=r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}},}$

${\displaystyle r={\frac {a^{2} h^{2}}{2h}},}$

dove il segno positivo e negativo della formula corrispondono alle altezze delle due calotte generate da un singolo piano secante.

Voci correlate

• Arco di circonferenza
• Geometria sferica
• Segmento circolare
• Sfera
• Sferometro

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• Formulario della sfera, su math.it.